Clotoides, las curvas que cuidan de tu cuello

La clotoide, espiral de Euler o espiral de Cornu es una curva en el plano cuya curvatura, es decir el inverso de su radio instantáneo, crece (o decrece si vamos en sentido contrario) linealmente con la distancia recorrida sobre la misma. Este comportamiento puede ser muy deseable en aplicaciones donde un objeto moviéndose a velocidad vaya a estar sujeto a cambios de dirección.

Trasladado al mundo de la ingeniería civil una clotoide es la curva perfecta para ejecutar todo tipo de tramos curvos, cambios de sentido, incorporaciones,... en carreteras o autovías que requieran algún cambio de dirección y por donde se circule a velocidades medias o altas.

Los viajeros no percibirán en ningún momento sacudidas fuertes sino que a medida que el vehículo avance por la clotoide irán sintiendo una fuerza lateral progresivamente cambiante. El conductor además no necesitará hacer ningún movimiento brusco del volante para seguirla, como sí ocurriría si se uniera directamente el tramo recto con uno circular por ejemplo, y le será más fácil adaptar la velocidad para mantener seguridad y confort.

También se usan clotoides para diseñar los loops en las montañas rusas, como calculamos en 'Simulando loops de una montaña rusa con R (y GPT-5)', con el objeto de que nadie se rompa el cuello en un parque de atracciones debido a picos o cambios bruscos en las fuerzas G.

La clotoide también es idónea para construir transiciones entre tramos de diferente curvatura, típicamente tramos rectos (curvatura 0) y circunferencias (curvatura constante), garantizando que no se producen discontinuidades de la curvatura en todo el recorrido:

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Matemáticamente la clotoide es una función infinitamente diferenciable, es decir que todas sus derivadas son continuas y de ahí la extrema suavidad. Su formulación no es obvia implicando las integrales de Fresnel, pero con las funciones fresnelC() y fresnelS() de la librería pracma de R parametrizar una clotoide de determinada longitud y radio mínimo en su extremo final es coser y cantar:

Dibujando el radio y sobre todo la curvatura (su inverso) en cada punto de la clotoide, vemos como dicha curvatura crece linealmente desde 0 (radio infinito) hasta la curvatura correspondiente al radio mínimo escogido:

Como la fuerza centrífuga es inversamente proporcional al radio (Fc=mv2/r), será automáticamente proporcional a la curvatura y por lo tanto crece linealmente al adentrarnos en la clotoide.

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Otro uso de las clotoides fuera del universo de las fuerzas G lo tenemos en el diseño de superficies que deban ser tocadas por nuestros dedos. Es hilar fino, pero si por ejemplo en un smartphone de esquinas curvas en lugar de emplear tramos de circunferencia de 90º se usasen clotoides, un dedo que siguiera el borde del dispositivo quizá podría percibir una transición más suave.

Aquí he comparado cómo sería el contorno de una esquina de dispositivo generado con una circunferencia perfecta (en trazo fino negro, se indican dos marcas en los puntos donde empezaría la curva), con una doble clotoide (en trazo rojo grueso) unida a 45º con continuidad de derivada y radio mínimo en el punto de unión (hacer clic para ver en alta resolución):

Para mantener un radio aparente similar del remate entre ambas opciones, las clotoides arrancan en el borde antes que las circunferencias. La imagen anterior muestra las clotoides desde su inicio tangencial así que todo y solo lo que se muestra en trazo rojo es clotoide. La diferencia es sutilísima así que tengo dudas de que se puedan detectar al tacto.

Por lo visto Apple utiliza curvas complejas de este tipo para definir la geometría de sus típicos bordes curvos:

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Terminamos con un par de imágenes creativas basadas en clotoides y una animación que les saca partido (hacer clic para ver en alta resolución y reproducir el vídeo):

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Repositorio con el código R: GitHub.