Transferencia de calor por elementos finitos con R (II). Simulaciones

En 'Transferencia de calor por elementos finitos con R (I). Simulador' creamos un simulador 2D para modelar la transferencia de calor por elementos finitos. Ahora vamos a hacer algunas simulaciones para sacarle partido y comprobar si el comportamiento es consistente con lo esperado.

Recordatorio de los materiales que pueden simularse y la forma en que son definidos y calculados. En casi todas las simulaciones respetaremos la recomendación de que los límites del espacio simulado estén definidos con materiales 'boundary', 'insulate' o 'isoflux' para tener unas condiciones de contorno estándar en bordes:

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Empezamos por un problema típico 2D en el cual un material conductor de forma rectangular está sometido a condiciones de contorno de temperatura constante en cada uno de sus cuatro lados. Repetimos la simulación añadiendo un par de láminas de aislante ideal para ponerle trabas a la transmisión del calor, actuando éstas como "retenedoras" tanto del calor como del frío en cada zona:

En la parte superior se muestra la definición del espacio simulado y en la de abajo los mapas de calor resultantes en régimen estacionario. Aquí una vista 3D del ejercicio sin materiales aislantes:

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A continuación un problema típico de paredes con diferentes parámetros térmicos, rodeadas por volúmenes de aire a temperatura constante. Aunque en esencia es un problema 1D, vamos a aprovechar el 2D introduciendo elementos metálicos en una de las secciones. Terminamos la parte superior e inferior de la simulación con material aislante para evitar efectos de bordes en la simulación:

Lo más interesante en esta simulación es corroborar que en régimen estacionario se alcanza un equilibrio en el que el gradiente de temperatura se hace constante en cada sección, con una pendiente mayor cuanto menos conductivo sea el material:

La primera sección, que solo se diferencia de la segunda por el dopaje con partículas metálicas, reduce su pendiente lo que demuestra una mayor difusividad media que el hormigón puro. El último material es el que soporta mayor diferencia de temperatura por ser el de menor conductividad. Llama la atención lo bien que se modelan los cambios de pendiente abruptos al atravesar las distintas secciones verticales.

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En la siguiente simulación vamos a comparar el efecto del aislamiento en un supuesto de habitáculo de hormigón. El primer esquema es el ejercicio base, en el segundo se añade material aislante (madera) en dos de las esquinas. En el tercero no hay aislamiento y el hormigón se dopa con partículas metálicas como en el ejercicio anterior. Por último se incluye un material aislante ideal en una sola esquina; notar que por requisitos del código se compone obligatoriamente de dos láminas rectangulares:

El exterior es aire a una temperatura constante de 0 ºC que sustraerá calor de cada uno de los habitáculos, más cuanto peor aislado esté. En los cuatro supuestos se introduce una fuente interna de calor de la misma potencia por lo que aquél que logre mayor temperatura interna será el más eficiente energéticamente:

La mayor temperatura tras la simulación se logra con aislamiento como era esperable; las dos esquinas de material aislante real son solo un poco más eficientes que el aislante ideal colocado en una única esquina. El caso menos eficiente obviamente se tiene cuando el hormigón contiene impurezas de alta conductividad, que básicamente convierten las paredes en un disipador de calor.

Es interesante ver cómo la distribución del calor sigue la geometría de los materiales: menor penetración del calor en las zonas con aislamiento (con aislante ideal el flujo de calor directamente se anula), y una propagación irregular y profunda del calor en el hormigón dopado de forma pseudoaleatoria.

La simulación se detuvo lejos del régimen estacionario, aunque esto no fuera necesario para comparar eficiencias. Podemos comprobarlo viendo la forma en que evolucionó la temperatura en el interior del primer recinto:

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Ahora un ejercicio más vistoso que realista: consiste en un logo de material metálico rodeado de material mucho menos conductivo. En cada letra del logo se han situado círculos a temperatura constante que empezarán a transferir calor al logo el cual se encuentra a menor temperatura:

Aprovechamos el ejemplo para ver como funciona el cálculo de contornos con geometrías no rectilíneas, quedando definidos de forma muy satisfactoria:

El resultado en forma de GIF animado muestra cómo el material metálico rápidamente aumenta su temperatura ante la entrega de calor, y transmite éste en toda su superficie. Sin embargo el material poco conductivo que lo soporta apenas capta calor (los bordes poco nítidos corresponden al calor absorbido por este material):

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Nos abstraemos de que nuestro simulador es 2D y modelamos una casa extruida con cuerpo de hormigón y elementos tales como una ventana con doble acristalamiento, paredes con aislante y una extraña pieza metálica que atraviesa el muro y comunica térmicamente exterior con interior.

El aire exterior se mantiene a -10 ºC y la temperatura del suelo que rodea la construcción a 5º C. Aunque no hay fuentes de calor explícitas, que fijemos también la temperatura interior a 20 ºC equivale a una fuente de calor interna con regulación de temperatura.

El interés está en ver cómo evoluciona la temperatura de los demás objetos sujetos a estas condiciones de contorno. La pieza metálica se invisibiliza a efectos térmicos antes de que de tiempo a un intercambio apreciable de calor en los demás elementos:

En el régimen estacionario los muros de la casa, incluida la ventana, presentan un gradiente constante entre la temperatura exterior e interior. La temperatura media del hormigón tiende a algo ligeramente por debajo de 4º C a largo plazo:

La mayor pérdida de calor se produce por la cubierta ya que no tiene aislamiento, y por donde menos calor perdemos es por el suelo dado que la temperatura del mismo está muchos grados por encima de la del exterior. Como mejor vemos esto es con el flujo de calor (se muestra su módulo, obviamente la dirección del flujo es en todos los casos del interior hacia el exterior):

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En la siguiente simulación tomamos un diseño de disipador térmico extruido en aluminio de Alexandria Industries:

Vamos a modelarlo con los parámetros térmicos del aluminio, y unido a tres piezas a una temperatura constante de 200 ºC en los puntos marcados en amarillo:

En este caso arrancamos la simulación con el disipador también a 200 ºC y dejamos que progresivamente transmita calor al aire, que consideramos a 0º C con nuestra asunción de convección instantánea.

En un inicio la temperatura media del disipador baja rápidamente, pasando a estabilizarse entorno a 29 ºC cuando el calor aportado por las fuentes se iguala al disipado en el material:

En ese momento vemos que tan pronto nos alejamos de las fuentes de calor la temperatura baja rápidamente por la fuerte disipación de calor. Esto me hace pensar que en disipadores correctamente refrigerados, estructuras que se alejen excesivamente de la fuente tienen poca aportación:

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Ahora vamos a comparar la eficiencia de dos tipologías de ladrillos para construir muros de carga autoportantes, los ladrillos de termoarcilla (arriba) y los clásicos bloques de hormigón (abajo):

El lado izquierdo consiste en un espacio de aire a 0 ºC que simula el exterior, y en el lado derecho colocamos un espacio de aire interior contiguo a una zona a temperatura constante de 100 ºC. Tanto los ladrillos como el aire interior arrancan la simulación a 0 ºC, y tras un buen número de iteraciones el aire interior alcanza las siguientes temperaturas:

El bloque se simula dos veces, en la primera suponiendo que está hecho del mismo material que la termoarcilla. Cuando es así logra una temperatura del interior parecida pero ligeramente superior a los ladrillos de termoarcilla (38,6 ºC vs 36,7 ºC).

Sin embargo cuando especificamos para el bloque un material más parecido al hormigón (de mayor conductividad y difusividad que las del ladrillo de arcilla), llegamos para el mismo número de iteraciones a una temperatura interior de solo 26,2 ºC, lo que da idea de las grandes pérdidas que tiene un bloque de hormigón respecto a los ladrillos de termoarcilla.

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En el último ejercicio vamos a crear un mundo sintético en el que una fuente de calor intercambia energía con un sumidero de calor, rodeados de material aislante en toda la periferia. El flujo entre estas fuentes internas lo dificultamos con dos piezas cuadradas de aislante ideal:

En la animación puede verse que cada región aumenta o disminuye la temperatura en función de su proximidad a la fuente o al sumidero de calor.

Los parches aislantes distorsionan los gradientes de temperatura, forzando que discurran paralelos a sus lados al no permitir intercambiar flujo. En consecuencia las curvas isotermas se hacen inevitablemente perpendiculares a cada pared de material aislante, incluidas las de la periferia:

Más ilustrativo aún resulta dibujar los gradientes de temperatura en forma vectorial, quedando claro cómo los parches "repelen" los flujos de calor, que se ven obligados a encontrar rutas alternativas (clic para mayor definición):

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Repositorio con el código R y simulaciones: GitHub.