La carta del astuto Smith con R

Ante la avalancha de detractores de aprender el Teorema de Pitágoras, las clases de volcanes o a tocar la flauta durante la educación básica, según los cuales lo que los chavales deberían estudiar en el colegio es la fórmula del interés compuesto y a invertir en Bolsa (mensaje para quienes piensen así: no habéis entendido nada), revisito en la memoria algo que no he usado en mi vida* pero que por su belleza matemática e interés para mí, volvería a aprender sin dudar: la carta de Smith.

Fuente: Wikipedia

Quienes hayan estudiado Telecomunicaciones posiblemente habrán lidiado con ella. Sin ánimo de aburrir detallando para qué sirve, es un método gráfico, elegante e intuitivo para representar parámetros clave de una línea de transmisión. En particular con el fin de que la señal que se transmite por ella se entregue completamente al dispositivo final (la carga), evitando reflexiones de vuelta hacia la fuente que implicarían interferencias y pérdida de potencia.

Cuando Philip Smith creó esta carta en 1939 lo hizo para emplearla directamente, dibujando sobre ella con regla y compás, como herramienta en el diseño de líneas de transmisión (básicamente cableados de antenas y sistemas telefónicos).

Fuente: Phillip Hagar Smith, el astuto Smith

Hoy, dado que los cálculos se hacen por ordenador, ya solo se usa (e intuyo que no demasiado) como herramienta visual de comprobación de los parámetros de la línea. Recuerdo que en la Escuela unos compañeros escribieron un programa en Pascal que la dibujaba fantásticamente y permitía resolver problemas con ella. Ejemplo de carta electrónica en un analizador de red:

Fuente: analizador de red HP 8711C

Con una rutina en R que me ha construido ChatGPT (y el consiguiente refinamiento requerido), la he dibujado en formato minimalista en alta resolución, añadiéndole una textura de papel para darle un aspecto vintage (hacer clic para ver en alta resolución):

Para cerrar, un grafismo de la transformación bilineal en la que está basada la carta de Smith al estilo de lo que ya hiciéramos en 'La Transformada de Box-Muller con R'. Mapeamos el semiplano complejo con parte real no negativa (impedancia normalizada), sobre los valores complejos del círculo unidad (coeficiente de reflexión) (hacer clic para ver en alta resolución):

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^*Decía al principio que la carta no me ha servido de nada en mi día a día, y así es, pero en un contexto real sí apliqué los conceptos en los que se basa. Hace años abrimos un desván en casa de mi madre para ganar una habitación, y pusimos en él una nueva toma de antena. Desde que se echó ese cable, en la TV del salón apareció una imagen doble permanente muy molesta. Era la señal de TV que se reflejaba en la toma de antena del desván y entraba en el televisor sumándose a la señal principal.

Cortocircuitando la toma de antena del desván con una moneda hice desaparecer la señal fantasma. Lo que en realidad hacía la moneda era sustituir la impedancia infinita del circuito abierto, que generaba una reflexión total de la señal, por una resistencia pequeña. En realidad nunca entendí del todo por qué funcionó. La impedancia característica de los cables coaxiales es de 75Ω y para evitar reflexiones hay que "terminarlos" con una resistencia parecida, cuando una moneda tiene una resistencia mucho menor. Sí puedo asegurar en cualquier caso que con aquella moneda en el desván pudimos volver a ver la TV de nuevo.

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Repositorio con el código R: GitHub.